22 Июня 2017 17:22
374 просмотра

Ничто, или бытие непредставимого

Будучи неспособными знать наверняка силу (мощность) того или иного (например, политического) режима, мы вынуждены предполагать ее аксиоматически, косвенно определяя как собственную способность упразднить его, так и всегда рискуя не рассчитать силы.


«Точно так же и ничто как непосредственное, равное самому себе, 
есть, наоборот, то же самое, что и бытие». 
Г. В. Ф. Гегель «Наука логики»


В соответствии с так называемой «софистической», или постмодернистской точкой зрения, истина не открывается нам в качестве истины мира, а более или менее эффективно производится (а в самых радикальных версиях — симулируется) — и в этом смысле является радикально субъективной (человек есть мера всех вещей). В таком случае оказывается совершенно справедливой мысль Витгенштейна: из того, что мне или всем кажется, что это так, не следует, что это так и есть, и в то же время в этом невозможно сколько-нибудь осмысленно усомниться. Другими словами, онтология либо невозможна, либо совпадает с гносеологией и существенным образом зависит от языка. Ален Бадью именует такую ситуацию (и он полагает, что данная точка зрения доминирует в современности) демократическим материализмом, суть которого, по его мнению, вполне может быть выражена своего рода слоганом: существуют лишь тела и языки [6, с. 1]. Самому же философу такая позиция представляется не только неудовлетворительной, но и ложной в сугубо философском смысле, и он противопоставляет ей свою собственную — материалистическую диалектику, которую разделяем и мы, и в соответствии с которой помимо тел и языков существуют (и это принципиально) еще и истины.
То есть, несмотря на то, что все истины действительно производятся Субъектом, они остаются при этом истинами мира — действия Субъекта «вынуждают к истине» некоторые неразрешимые в онтологии суждения.
Принимая ничем не мотивированное, с точки зрения того мира, в котором он живет, решение, и продолжая иррационально верить в то, что событие все же имело место, «верный субъект» тем самым изменяет/обновляет мир.

Чтобы обосновать выстраиваемую им самим метафизику, Бадью обращается к математике, поскольку, с его точки зрения, вся без исключения метафизика в части онтологии делается именно математиками, хоть они об этом и не подозревают. Более того, такое «забвение бытия» является необходимым условием производства ими онтологических истин. Задача же философии — лишь в том, чтобы «расчистить место», позволив истине математической сбыться в качестве истины онтологической [1, c. 16-19].

"What is not a being is not a being"1 — пишет Бадью, ссылаясь на Лейбница, и пытаясь тем самым сказать, что со времен Парменида онтология всегда исходила из фундаментальной интуитивной убежденности: то, что представлено, по своей сути множественно, но то, что представлено, по сути своей едино. И тем не менее мыслить таким образом сколько-нибудь последовательно не получается. Ну действительно, если Бытие есть Единое, то множественное — это то, что не есть бытие. Но поскольку множественное в то же время есть то, что представлено, а всякий доступ к бытию для нас возможен лишь через представление, то как мы вообще можем различить то, что себя представляет, отрицая представление? Бессилие мысли в данном вопросе очень хорошо выявлено Платоном в диалоге «Парменид», и, с точки зрения Бадью, может быть преодолено лишь так называемым аксиоматическим полаганием, которое имеет форму: Единое не есть. Это ни в коем случае не противоречит нашей интуитивной убежденности в том, что существует единство, поскольку существует оно всегда только лишь как операция счета-за-одно, который не есть представление. Но при этом Бытие не есть также и Многое, так как Многое нам дано только в представлении...

Что не есть бытие отдельное, то не есть бытие вообще.


Итак, Многое есть режим представления; Единое в отношении к представлению есть результат операции; Бытие есть то, что представляет себя. Исходя из сказанного, Бытие не есть ни Единое (поскольку только о представлении осмысленно говорить, что оно было сосчитано-за-одно), ни Многое, поскольку Многое есть всего лишь режим представления [5, c. 24].

Всякое представленное множество Бадью предлагает называть ситуацией, или тем местом, где нечто имеет место2. Каждой ситуации присущ свой оператор счета-за-одно, и задать такой оператор — значит, задать структуру ситуации в самом общем смысле: структура есть то, что предписывает представленному множеству некоторый режим счета-за-одно. Таким образом, всякая ситуация структурирована, и ее множественность лишь ретроактивно мыслится предшествующей Единому и лишь постольку, поскольку счет-за-одно всегда уже есть результат. Тот факт, что Единое есть операция, позволяет нам (также всегда находящимся в какой-то ситуации) предполагать, что то, в отношении чего она применяется (ее домен3), не есть Единое, и, следовательно то, что не есть Единое, является множеством внутри представления, то есть, это множественность, проявляющаяся как некая инерция ситуации, в которую сама оппозиция единое/многое инсталлируется счетом-за-одно. Онтологический статус представленного, таким образом, оказывается фундирован как множественнсть, «за кулисами» процедуры счета. 

Place of taking-place.

Описывая те или иные функции, принято различать их области определения и области значения. В английском языке этим понятиям соответствуют слова domain и range, которые представляются нам гораздо более удачными. Неслучайно философы чаще пользуются именно последними, говоря, к примеру, о «доменах действительности».

И такую множественность, которую Бадью называет неконсистентной, следует отличать от любых последующих объединений в множества уже сосчитанного-за-одно, которые всегда есть множественность консистентная, или структурный эффект.

Итак, все, что представлено, есть множество, и, следовательно, нет ничего, кроме ситуаций, и онтология, если она вообще существует, также является одной из ситуаций. Означает ли это, что представленность Бытия является необходимой? Бадью полагает, что нет — скорее, Бытие входит в то, что представлено любым представлением, но само как таковое, никогда не представлено. Разумеется, множественность представления в структурированной ситуации — а они все такие — это такое множество, которое было собрано на базе действующего в ситуации оператора счета. И все же представление вообще, благодаря ретроактивному действию оператора счета-за-одно, позволяет как бы «по инерции» полагать тот нередуцируемый к представленной множественности домен, на котором был определен данный оператор. И этот домен и есть Бытие — чистая неконсистентная множественность. И тогда онтологию как ситуацию мы могли бы определить следующим образом: как представление представления Бытия. Другими словами, если онтология как ситуация вообще возможна, то это должна быть ситуация чистой множественности, так сказать, множественности «в-себе»; онтология может быть лишь теорией множественностей как таковых. «Как таковых» здесь следует понимать буквально: в онтологической ситуации может быть представлено лишь множество, свободное от любых других предикативных определений, кроме своей множественности, то есть она может быть только теорией множеств.


Такая теория должна, таким образом, удовлетворять двум важным требованиям:

  1. Множество в онтологии будет собираться как ситуация и должно состоять только из множеств. Единое не есть, и следовательно, всякое множество есть множество множеств.
  2. Оператор счета-за-одно в онтологической ситуации должен представлять из себя не больше, чем систему условий, исходя из которых множество будет распознаваться в качестве такового.

Второе требование чрезвычайно важно. То, что в ситуации онтологии считать множеством, ни в коем случае не должно определяться явно. Любое явное определение привело бы нас к полной утрате бытия, поскольку как только у нас появился бы критерий или определение того, чему мы «разрешаем» быть множеством, вместо чистой множественности мы имели бы дело с «единствами» множеств, а не множественностью как таковой, и онтология превратилась бы из представления представления в обычную ситуацию, не отличающуюся от любых других «неонтологических» представлений.

Мы видим, что этому требованию в точности удовлетворяет формализованная аксиоматическая система, имеющая дело с неопределяемыми понятиями, значения которых возникают вследствие налагаемых на них списком аксиом ограничений. Задание необходимой аксиоматической структуры тем самым выполняет роль самого строгого определения и при этом позволяет избежать его эксплицитного выражения. Стандартной для теории множеств системой аксиом является система аксиом Цермело-Френкеля, или ZFC4.

Подробнее. Несмотря на то что существуют и другие способы аксиоматизации теории множеств (например, cистема аксиом фон Неймана — Бернайса — Геделя), как основу онтологического дискурса Бадью рассматривает именно аксиоматику Цермело. Поэтому в дальнейшем, говоря о теории множеств, нами всегда будет предполагаться ZFC.


Если мы обратимся к любой, не являющейся онтологической, ситуации, то заметим, что она имеет дело лишь с единицами и консистентными множествами единиц — таков эффект структуры: все, что в ситуации представлено, посчитано-за-одно в соответствии с присущим ситуации конкретным оператором счета, и, таким образом, никакая неконсистентная множественность в ней не может быть представлена. Неконсистентность как чистая множественность нами лишь предполагалась (угадывалась), как инерция изначально принятого решения: Единого нет. Изнутри же любой обыкновенной ситуации такое положение дел неразличимо, и это совершенно естественно, поскольку любая ситуация, не будучи представлением представления, необходимо отождествляет бытие с тем, что представлено, поэтому имманентное ситуации Единое есть, и тезис Лейбница для нее более чем правдоподобен.
Таким образом, с одной стороны, ничто не остается непосчитанным в ситуации, но, с другой стороны, все то, что было посчитано, всегда есть уже результат счета.
И поскольку оператор действовал на некоторой области определения, то в домене чистой множественности необходимо должно оставаться нечто, не совпадающее абсолютно с результатом счета — некий фантом, непредставимый остаток, неконсистентная множественность, исключенное любым режимом представления, и одновременно входящее в любое представление, как представление-в-себе, как знак того, что само бытие консистентности есть неконсистентность.

Такая непредставимая, неподвластная любому счету, чистая множественность, с точки знения ситуации, с необходимостью есть ничто, но из этого еще не следует, что ничто не есть.

Ничто есть имя непредставимого в представлении, и для любой не-онтологической ситуации это самое настоящее ничто, поскольку эффект структуры тотален. И тем не менее, онтология вправе говорить о бытии ничто как форме непредставимого, о таком ничто, которое именует невоспринимаемый разрыв между представленной консистентностью и неконсистентностью как тем, что еще только будет представлено. Это, с одной стороны, нечто, не являющееся объектом ситуации, и поэтому оно — то самое ничто, которое не было посчитано, а, с другой стороны, это нечто, необходимое для того, чтобы оператор счета вообще смог начать действовать. Таким образом, это — ничто структуры (консистентности) и одновременно — ничто чистой множественности (неконсистентности). Используя терминологию Бадью, можно сказать, что это пустота, подшивающая ситуацию к ее бытию [5, c. 55].

Тем самым мы можем заключить, что коль скоро онтология есть особая ситуация, которая должна уметь представлять закон любого другого представления, то ее задача может состоять лишь в том, чтобы представлять представимую «подшивку» к бытию, которая, с точки зрения любого представления, есть пустота, ускользающая от счета в ситуации. Соответственно, единственным сугубо онтологическим термином, из которого в дальнейшем будет соткано все многообразие теоретико-множественных (онтологических) конструкций, свободных от любых явных определений, с необходимостью может быть только ничто, или пустое множество ∅. Строго формально упомянутая выше «подшивка» к бытию выражается в том, что пустое множество является частью (пускай и ничтожной) любого множества, т. е: € ∀α ∅ ⊂ α. Важно подчеркнуть, что этим ничто вовсе не отождествляется с самим бытием — знак пустоты, или пустого множества, следует понимать исключительно как имя бытия, делающее возможным онтологический дискурс о нем именно потому, что само бытие всегда остается непредставимым. В аксиоматике Цермело — Френкеля этой идее соответствует отдельная аксиома, которой Ален Бадью дает очень романтичное название «Первая экзистенциальная печать», подчеркивая ее исключительную важность для онтологии: вместе с аксиомой бесконечности, или Второй экзистенциальной печатью, они, в отличие от остальных аксиом теории, явно постулирует существование:


Аксиома пустого множества
1.jpg

 

Аксиома бесконечности
2.jpg


Чтобы бесконечность перестала быть лишь пустым понятием, из «дурной» превратилась бы в «хорошую», в отчетливый концепт теории множеств, по мнению Бадью, должны быть соблюдены три условия:

  • Необходимо существование абсолютно изначальной точки бытия, какого-то безусловно наличествующего множества.
  • Необходимо указать такое правило минимального «шага» (некое «и так далее...») от одного множества к другому, которое своим бессилием превзойти некоторый предел обнаруживало бы бесконечность последнего.
  • Необходимо удостоверить существование такого множества, тотальность которого не преодолевается также другое множество (предполагаемая причина беспомощности правила), внутри которого данное правило воспроизводится.

«Первая экзистенциальная печать» (аксиома пустого множества) удовлетворяет первому требованию и предоставляет в наше распоряжение имя бытия, гарантирующее онтологическую «подшивку» всему последующему формализованному дискурсу о множественностях.

Правило перехода β → β∪{β}, фигурирующее в аксиоме, есть правило образования множества-последователя S(β), поскольку по данному β мы строим действительно «следующее» множество, отличающееся от данного в точности одним элементом, который есть само β.

Следуя правилу, мы последовательно двигаемся от одного множества к другому, но это «другое», по большому счету, остается тем же самым, поскольку за ним последует еще одно «другое», и то, что казалось «другим», станет лишь серым «посредником» между первым и тем, что необходимо будет следующим. Иначе обстоит дело с тем α, существование которого скреплено Второй экзистенциальной печатью: постулируя его, мы полагаем такое Иное, которое вбирает в себя процесс «и так далее...» во всей его тотальности. Другими словами, мы указываем такое место в бытии, где одновременно реализуется как сила правила, так и его бесссилие. Это место однако, само есть исключение из правила, поскольку, окажись оно достижимым с помощью правила, то никакое «и так далее...» уже не имело бы смысла — следовательно, это место есть предел для правила. Поясним сказанное.

Применив правило перехода к ∅, мы получим множество-последователь (successor) € S(∅) = ∅∪{∅}, и это будет уже не пустота, а синглетон, — множество, которому принадлежит всего один элемент: {∅}. Каким будет его последователь? Очевидно, он будет выглядеть так: {∅, {∅}} (проверьте). Заметим, что все три рассмотренных нами множества обладают очень любопытным свойством: любой элемент, принадлежащий множеству, в этом множестве также и содержится, т. е. ему принадлежат все элементы данного элемента. Такое свойство называется транзитивностью в том смысле, что свойство принадлежности переносится (transit) с элемента на его элементы. Но это еще не все — эти множества не только транзитивны, но и каждый их элемент является транзитивным. Именно так определяются ординалы, и, разумеется, это они и есть. Любой такой ординал конечен и является ординалом-последователем. В то же время аксиома бесконечности, как мы теперь видим, утверждает, что существует предельный ординал. Среди всех предельных ординалов существует наименьший — его принято обозначать ω0, и он изоморфен, как нетрудно догадаться, множеству натуральных чисел. Среди бесконечных ординалов тоже есть последователи, например ω0 +1 =ω0 ∪{ω0} = {0,1, 2,3 ...ω0}, имеющие ту же мощность, что и ω0, но другой порядковый тип. На этом примере очень хорошо видно бессилие нашего правила, поскольку не только прибавление единицы к конечному ординалу, но и любая допустимая операция с любым конечным числом конечных ординалов не выводит нас за пределы конечного — ωдействительно оказывается для них недостижим.

Итак, мы видели, что формула ∀α (α ∈ β ⇒ α ⊂ β)ерна для некоторых множеств, которые мы назвали транзитивными. Обратная же формула ∀α (α ⊂ β ⇒ α ∈ β), неверна для всех α. Вообще говоря, это следствие теоремы Кантора5, но Бадью именует ее теоремой эксцесса, подчеркивая тем самым радикальный переизбыток частей множества6 над его элементами. То есть |P(ω0)| > |ω0|, и поэтому существует, по крайней мере, еще один бесконечный ординал мощности, большей ω0. Опять-таки, среди всех таких ординалов есть наименьший — он также будет предельным, мы обозначим его ω1 и т. д. (Все предельные ординалы являются кардиналами.7) Так естественным образом выстраивается шкала ординалов — множеств особого вида, вполне упорядоченных отношением принадлежности, а учитывая лемму Цорна, в соответствии с которой любое множество может быть вполне упорядочено, на этой шкале обязательно должен найтись ординал, которому будет изоморфна любая множественность, а, значит, и любое сущее.

6 Множество частей, или подмножеств, некоторого множества α иногда еще называют множеством степени (power set), поскольку количество его элементов равняется 2n, где n — число элементов α, и поэтому его принято обозначать как Р(α).


Теорема Кантора утверждает, что мощность множества степени строго больше мощности самого множества, но пока мы еще не знаем, насколько больше. Георг Кантор предположил, что мощность континуума8 является следующей за мощностью множества натуральных чисел — т. е. что между ними нет промежуточных мощностей. Это равенство можно записать следующим образом:

3.jpg

8 Говорят, что множество действительных чисел имеет мощность континуум, т. к. действительные числа принято отождествлять с непрерывной, или вещественной прямой.


В этом и состоит континуум-гипотеза. Она предполагает, что множество действительных чисел изоморфно ω1— первому предельному ординалу, большему ω0. Соответственно, отрицание континуум-гипотезы состояло бы в утверждении того, что мощность множества действительных чисел еще больше. Но опять-таки — насколько больше?

Одним из самых значительных результатов в теории множеств, и что, пожалуй, еще важнее — в современной логике — явилось доказательство независимости континуум-гипотезы от остальных аксиом теории множеств (событие, сравнимое как по значимости, так и по своей сути доказательству независимости Пятого постулата Евклида). Это было сделано в 1963 году американским математиком Полом Коэном, и результат этот чрезвычайно значим по двум причинам: во-первых, независимость континуум-гипотезы означает, что мы в принципе не можем оценить количественно величину избытка частей бесконечного множества по отношению к его элементам. То есть, присоединяя как саму континуум-гипотезу, так и ее отрицание к системе аксиом ZFC, мы получим непротиворечивую систему аксиом (в случае, если ZFC непротиворечива, что пока не доказано — причем ситуация снова аналогична существующему положению дел в Евклидовой геометрии), а поскольку любое утверждение вида:

4.jpg
5.jpg


и т. п. отрицает гипотезу, то меру глубины пропасти, разделяющей мощность множества и мощность множества его частей, мы, по сути, всякий раз устанавливаем сами. Мы знаем, что на ординальной шкале где-то есть место, которому соответствует наше множество, но точно указать это место мы не можем! И этому удивительному, но все же сугубо формальному математическому результату может быть придан глубоко экзистенциальный смысл.

Всякая ситуация фундирована ничто — именем неконсистентной множественности, которая есть бытие. И в то же самое время ни одна ситуация, не являющаяся онтологической, не может допустить осознания этого факта. Это полностью обрушило бы ее структуру, прямо указав на ничтожность любого принципа счета-за-одно. В этом смысле забвение бытия характерно не только для математиков, занимающихся онтологией, «не ведая, что они творят», но и является конституирующим принципом стабильности ситуации вообще.
Столкновение с ничто, таким образом, невозможно, но «угроза Реального», как назвал бы это Лакан, остается более чем реальной, и это происходит потому, что в ситуации, любые устойчивые единства которой есть результат счета, сам счет оказывается не посчитан, или не учтен — он не принадлежит ситуации и поэтому не существует для нее. 
Поэтому нужен какой-то другой счет, который бы навсегда узаконил первый и не оставил бы никакой возможности для представления ничто в ситуации. Эту функцию «забвения» берет на себя множество подмножеств Р(α) (Бадью называет его метаструктурой, или Режимом9), существование которого формально гарантировано соответствующей аксиомой и необходимо по следующим причинам: как мы уже знаем, мощность множества подмножеств любого множества строго больше мощности самого множества. Это означает, что частей в множестве всегда больше, чем его элементов, т. е. в любой ситуации необходимо существуют подмножества, которые, будучи частями ситуации, тем не менее не принадлежат ей, а значит, не существуют для ситуации. Эти части и являются потенциальными носителями ничто, способными поставить под сомнение основания любого порядка — поэтому необходимо должен быть введен режим, который бы препятствовал образованию подобных «зон хаоса» (в случае ситуации политической слово state, которое использует Бадью, звучит наиболее узнаваемо, поскольку в данном случае функцию метаструктуры выполняет, конечно же, государство). Так вот: будучи неспособными знать наверняка силу (мощность) того или иного (например, политического) режима, мы вынуждены предполагать ее аксиоматически, косвенно определяя как собственную способность упразднить его, так и всегда рискуя не рассчитать силы10.

9 В оригинале — state of situation.

10 Бадью — масштабный мыслитель, и его интересуют, прежде всего, режимы политические. Но под режимом может и должен мыслиться любой порядок вообще — в семье, школе, в межличностных отношениях, и решимость или готовность при необходимости порвать с ним от этого не становится экзистенциально менее значимой.


В этом смысле чрезвычайно «симптоматичен» и тот способ, которым Пол Коэн доказал независимость континуум-гипотезы: метод форсинга, открытый Коэном, помимо того что он явился чрезвычайно эффективной логической техникой и широко применяется в теории доказательств, имеет еще и сугубо онтологические следствия11. Сама возможность его реализации указывает нам на такое устройство бытия, при котором мы, при соблюдении ряда условий, способны «заставить» некоторые неразрешимые утверждения стать истинными. Другими словами, мир устроен таким образом, что истины о нем не всегда выводятся из какого-то конечного набора предзаданных максим, но могут вынуждаться (force) к существованию и таким образом присоединяться к этому набору.

11 Вот что об этом пишет сам Коэн: «Эта идея, в том виде, в котором она пришла ко мне, настолько отличалась от любого привычного способа думать, что я почувствовал: она должна иметь колоссальные последствия» [7, c. 1092].



Литература

  1. Бадью А. Манифест философии. СПб, 2003.
  2. Гегель Г. В. Ф. Наука логики. — СПб, «Наука», 1975.
  3. Кантор Г. К обоснованию учения о трансфинитных множествах// Работы по теории множеств. М. 1985.
  4. Платон. Парменид // Платон. Федон, Пир, Федр, Парменид. — М., «Мысль», 1999.
  5. Badiou A. Being and Event. Continuum, N.Y. 2007.
  6. Badiou A. Logics of Worlds, Being and Event 2. Continuum, N.Y. 2009.
  7. Cohen Paul J. The discovery of forcing. Rocky Mountain Journal of Mathematics, Vol.32, № 4, 2002.
  8. Kunen K. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier, 2006.

Комментарии

0
Пожалуйста, авторизуйтесь, чтобы оставлять комментарии.
Видеозапись лекции «С понедельника не получится»
Первая лекция цикла «Красная таблетка».
Смотреть